6389. Диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
равны и перпендикулярны. Точки P
, Q
, R
и S
лежат на сторонах AB
, BC
, CD
и DA
соответственно, причём AP:PB=BQ:QC=CR:RD=DS:SA
. Докажите, что PR\perp QS
и PR=QS
.
Решение. Обозначим AP:AB=BQ:BC=CR:CD=DS:DA=k
. Пусть O
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
четырёхугольника ABCD
, P_{1}
и R_{1}
— проекции точек соответственно P
и R
на диагональ AC
, а Q_{1}
и S_{1}
— проекции точек соответственно Q
и S
на диагональ BD
. Поскольку PP_{1}\perp BO
и OP_{1}\perp BO
, то PP_{1}\parallel BO
. Аналогично RR_{1}\parallel OD
, поэтому
\frac{PP_{1}}{OB}=\frac{AP}{AB}=k,~PP_{1}=kOB,~\frac{RR_{1}}{OD}=\frac{CR}{CD}=k,~RR_{1}=kOD,~
\frac{OP_{1}}{OA}=\frac{BP}{AB}=(1-k),~OP_{1}=(1-k)OA,~
\frac{OR_{1}}{OC}=\frac{DR}{CD}=(1-k),~OR_{1}=(1-k)OC,~
P_{1}R_{1}=OP_{1}+OR_{1}=(1-k)OA+(1-k)OC=(1-k)AC,
Тогда
\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{PP_{1}}+\overrightarrow{P_{1}R_{1}}+\overrightarrow{R_{1}R}=k\overrightarrow{BO}+(1-k)\overrightarrow{AC}+k\overrightarrow{OD}=
=k(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OD})+(1-k)\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{BD}+(1-k)\overrightarrow{AC}.
Поэтому,
PR^{2}=\overrightarrow{PR}^{2}=(k\overrightarrow{BD}+(1-k)\overrightarrow{AC})^{2}=
=k^{2}\overrightarrow{BD}+2k(1-k)\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AC}+(1-k)^{2}\overrightarrow{AC}^{2}=k^{2}BD^{2}+(1-k)^{2}AC^{2}+0=
=k^{2}BD^{2}+(1-k)^{2}AC^{2}=\left(k^{2}+(1-k)^{2}\right)AC^{2},
так как AC\perp BD
и AC=BD
. Аналогично получим, что
\overrightarrow{QS}=(1-k)\overrightarrow{BD}-k\overrightarrow{AC},
QS^{2}=(1-k^{2})BD^{2}+k^{2}AC^{2}+0=\left(k^{2}+(1-k)^{2}\right)AC^{2}.
Следовательно, PR=QS
.
Кроме того,
\overrightarrow{PR}\cdot\overrightarrow{QS}=(k\overrightarrow{BD}+(1-k)\overrightarrow{AC})\cdot((1-k)\overrightarrow{BD}-k\overrightarrow{AC})=
=k(1-k)BD^{2}-k(1-k)AC^{2}=0.
Следовательно, PR\perp QS
.