6391. На плоскости даны две неконцентрические окружности S_{1}
и S_{2}
. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно S_{1}
равна степени относительно S_{2}
, является прямая.
Решение. Пусть O
— центр окружности, R
— радиус, PQ
— диаметр, проходящий через точку M
. Тогда, если точка M
лежит внутри окружности, то по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд для любой хорды AB
, проходящей через точку M
,
AM\cdot BM=PM\cdot QM=(OP-OM)(OQ+OM)=(R-d)(R+d)=R^{2}-d^{2}.
Если точка M
лежит вне окружности, то по теореме о произведении всей секущей на её внешнюю часть
AM\cdot BM=MP\cdot MQ=(OM-OP)(OM+OQ)=(d-R)(d+R)=d^{2}-R^{2}.
В каждом из этих случаев MA\cdot MB=|d^{2}-R^{2}|
, причём величина d^{2}-R^{2}
и степень точки M
относительно окружности имеют одинаковые знаки. Если же точка M
лежит на окружности, то её степень равна 0
.
Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры неконцентрических окружностей S_{1}
и S_{2}
радиусов R_{1}
и R_{2}
соответственно. Рассмотрим прямоугольную систему координат, в которой точки O_{1}
и O_{2}
имеют координаты (-a;0)
и (a;0)
. Степени точки M(x;y)
относительно этих окружностей равны (x+a)^{2}-R_{1}^{2}
и (x-a)^{2}-R_{2}^{2}
. Тогда
(x+a)^{2}-R_{1}^{2}=(x-a)^{2}-R_{2}^{2}~\Leftrightarrow~x^{2}+2ax+a^{2}-R_{1}^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}-R_{2}^{2}~\Leftrightarrow~x=\frac{R_{1}^{2}-R_{2}^{2}}{4a}.
Следовательно, искомое геометрическое место точек есть прямая, перпендикулярная линии центров данных окружностей.
Примечание. Эта прямая называется радикальной осью окружностей S_{1}
и S_{2}
. Если окружности пересекаются, то их радикальная ось — прямая, проходящая через точки пересечения. Если окружности касаются, то их радикальная ось — общая касательная окружностей.
Если вместо одной из окружностей взять точку O_{1}
(окружность нулевого радиуса), то получим равенство (x+a)^{2}-0=(x-a)^{2}-R_{2}^{2}
, которое равносильно равенству x=-\frac{R_{2}^{2}}{4a}
, также задающему прямую, перпендикулярную O_{1}O_{2}
.
Источник: Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. — М.—Л.: ОГИЗ, 1949. — № 274, с. 26
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 5, с. 205
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 3.53, с. 66
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 3.58, с. 63
Источник: Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — с. 44