6393. Теорема о радикальном центре трёх окружностей. На плоскости даны три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Проведём радикальные оси для каждой пары окружностей. Докажите, что все три радикальные оси пересекаются в одной точке.
Решение. Докажем сначала, что что геометрическим местом точек, для которых степени относительно двух неконцентрических окружностей S_{1}
и S_{2}
равны, является прямая (радикальная ось).
Пусть O
— центр окружности, R
— радиус, PQ
— диаметр, проходящий через точку M
. Тогда, если точка M
лежит внутри окружности, то по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд для любой хорды AB
, проходящей через точку M
,
AM\cdot BM=PM\cdot QM=(OP-OM)(OQ+OM)=(R-d)(R+d)=R^{2}-d^{2}.
Если точка M
лежит вне окружности, то по теореме о произведении всей секущей на её внешнюю часть
AM\cdot BM=MP\cdot MQ=(OM-OP)(OM+OQ)=(d-R)(d+R)=d^{2}-R^{2}.
В каждом из этих случаев MA\cdot MB=|d^{2}-R^{2}|
, причём величина d^{2}-R^{2}
и степень точки M
относительно окружности имеют одинаковые знаки. Если же точка M
лежит на окружности, то её степень равна 0
.
Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры неконцентрических окружностей S_{1}
и S_{2}
радиусов R_{1}
и R_{2}
соответственно. Рассмотрим прямоугольную систему координат, в которой точки O_{1}
и O_{2}
имеют координаты (-a;0)
и (a;0)
. Степени точки M(x;y)
относительно этих окружностей равны (x+a)^{2}+y^{2}-R_{1}^{2}
и (x-a)^{2}+y^{2}-R_{2}^{2}
. Тогда
(x+a)^{2}+y^{2}-R_{1}^{2}=(x-a)^{2}+y^{2}-R_{2}^{2}~\Leftrightarrow~x^{2}+2ax+a^{2}-R_{1}^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}-R_{2}^{2}~\Leftrightarrow~x=\frac{R_{1}^{2}-R_{2}^{2}}{4a}.
Следовательно, искомое геометрическое место точек есть прямая, перпендикулярная линии центров данных окружностей.
Пусть теперь центры окружностей S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
не лежат на одной прямой, а радикальная ось окружностей S_{1}
и S_{2}
пересекает радикальную ось окружностей S_{1}
и S_{3}
в точке O
(эти радикальные оси пересекаются, так как центры окружностей не лежат на одной прямой). Тогда степень точки O
относительно окружности S_{1}
равна степеням точки O
относительно окружностей S_{2}
и S_{3}
. Значит, степень этой точки относительно окружности S_{2}
равна её степени относительно окружности S_{3}
. Следовательно, точка O
лежит на радикальной оси окружностей S_{2}
и S_{3}
, т. е. все три радикальные оси проходят через точку O
.
Примечание. Эта точка называется радикальным центром трёх окружностей.