6397. Докажите, что окружность, описанная около треугольника, не может проходить через центр вневписанной окружности.
Решение. Предположим, что окружность, описанная около треугольника ABC
, проходит через центр O
вневписанной окружности этого треугольника, касающейся стороны BC
. Обозначим \angle BAC=\alpha
.
Поскольку O
— точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах B
и C
треугольника ABC
, то \angle BOC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770). С другой стороны, так как четырёхугольник ABOC
вписанный, то \angle BOC=180^{\circ}-\alpha
. Из равенства 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=180^{\circ}-\alpha
следует, что \alpha=180^{\circ}
, что невозможно.