6400. Докажите, что при гомотетии окружность переходит в окружность.
Указание. Рассмотрите образы центра и произвольной точки данной окружности при гомотетии с центром в данной точке.
Решение. Пусть O_{1}
— образ центра O
окружности S
радиуса R
при гомотетии с центром в точке Q
и коэффициентом k
. Пусть k\gt0
. Если M
— произвольная точка этой окружности, а M_{1}
— её образ при рассматриваемой гомотетии, то
O_{1}M_{1}=kOM=kR.
Следовательно, точка M_{1}
лежит на окружности S_{1}
с центром O_{1}
и радиусом kR
.
Ясно также, что любая точка окружности S_{1}
является образом некоторой точки окружности S
при этой гомотетии (достаточно рассмотреть образ этой точки при обратной гомотетии, т. е. при гомотетии с центром Q
и коэффициентом \frac{1}{k}
).
Аналогично для k\lt0
.
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — с. 134
Источник: Болтянский В. Г., Яглом И. М. Преобразования. Векторы. — М.: Просвещение, 1964. — с. 134
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 1, с. 84
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 1, с. 388
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — с. 210