6400. Докажите, что при гомотетии окружность переходит в окружность.
Указание. Рассмотрите образы центра и произвольной точки данной окружности при гомотетии с центром в данной точке.
Решение. Пусть O_{1}
— образ центра O
окружности S
радиуса R
при гомотетии с центром в точке Q
и коэффициентом k
. Пусть k\gt0
. Если M
— произвольная точка этой окружности, а M_{1}
— её образ при рассматриваемой гомотетии, то
O_{1}M_{1}=kOM=kR.
Следовательно, точка M_{1}
лежит на окружности S_{1}
с центром O_{1}
и радиусом kR
.
Ясно также, что любая точка окружности S_{1}
является образом некоторой точки окружности S
при этой гомотетии (достаточно рассмотреть образ этой точки при обратной гомотетии, т. е. при гомотетии с центром Q
и коэффициентом \frac{1}{k}
.
Аналогично для k\lt0
.