6401. Докажите, что две касающиеся окружности гомотетичны относительно их точки касания.
Указание. Докажите, что при гомотетии относительно точки касания с коэффициентом, равным по модулю отношению радиусов, одна из окружностей переходит в другую.
Решение. Пусть окружности S_{1}
и S_{2}
с центрами соответственно O_{1}
и O_{2}
и радиусами r
и R
касаются внешним образом в точке K
. Докажем, что при гомотетии с центром K
и коэффициентом -\frac{R}{r}
окружность S_{1}
переходит в окружность S_{2}
.
Пусть A
— произвольная точка окружности S_{1}
, а прямая AK
вторично пересекает окружность S_{2}
в точке B
. Поскольку треугольники AO_{1}K
и BO_{2}K
равнобедренные, то
\angle O_{1}AK=\angle O_{1}KA=\angle O_{2}KB=\angle O_{2}BK.
Поэтому треугольники AO_{1}K
и BO_{2}K
подобны. Следовательно, KB=KA\cdot\frac{KO_{2}}{KO_{1}}=\frac{R}{r}\cdot KA
, а так как точки A
и B
лежат по разные стороны от точки K
, то точка B
гомотетична точке A
относительно точки K
с коэффициентом -\frac{R}{r}
. Ясно также, что любая точка окружности S_{2}
является образом некоторой точки S_{1}
при этой гомотетии.
Аналогично рассматривается случай внутреннего касания.