6403. Две окружности касаются в точке K
. Через точку K
проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках A
и B
, вторую — в точках C
и D
. Докажите, что AB\parallel CD
.
Указание. Две касающиеся окружности гомотетичны относительно их точки касания.
Решение. Первый способ. Две касающиеся окружности гомотетичны относительно их точки касания. При этой гомотетии точки A
и B
переходят в точки C
и D
. Поэтому прямая AB
переходит в прямую CD
. Следовательно, эти прямые параллельны.
Второй способ. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей, r
и R
— их радиусы. Равнобедренные треугольники O_{1}KA
и O_{2}KC
подобны по двум углам. Поэтому
\frac{AK}{CK}=\frac{KO_{1}}{KO_{2}}=\frac{r}{R}.
Аналогично \frac{BK}{DK}=\frac{r}{R}
. Следовательно, треугольники AKB
и CKD
подобны. Поэтому \angle KAB=\angle KCD
. Значит, AB\parallel CD
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 3, с. 84
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 3, с. 388