6404. Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.
Указание. Рассмотрите гомотетию относительно выбранной точки с коэффициентом 2.
Решение. Пусть P
— произвольная точка; M
, N
, K
, L
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
квадрата ABCD
; P_{1}
, P_{2}
, P_{3}
и P_{4}
— образы точки P
при симметриях относительно точек M
, N
, K
и L
соответственно.
Поскольку
PP_{1}=2PM,~PP_{2}=2PN,~PP_{3}=2PK,~PP_{4}=2PL
и при этом точки P_{1}
, P_{2}
, P_{3}
, P_{4}
расположены на лучах PM
, PN
, PK
, PL
соответственно, то четырёхугольник P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}
гомотетичен четырёхугольнику MNKL
относительно точки P
с коэффициентом 2, а так как MNKL
— квадрат, то четырёхугольник P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}
— также квадрат.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 4, с. 84
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 1, с. 388