6404. Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.
Указание. Рассмотрите гомотетию относительно выбранной точки с коэффициентом 2.
Решение. Пусть P
— произвольная точка; M
, N
, K
, L
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
квадрата ABCD
; P_{1}
, P_{2}
, P_{3}
и P_{4}
— образы точки P
при симметриях относительно точек M
, N
, K
и L
соответственно.
Поскольку
PP_{1}=2PM,~PP_{2}=2PN,~PP_{3}=2PK,~PP_{4}=2PL
и при этом точки P_{1}
, P_{2}
, P_{3}
, P_{4}
расположены на лучах PM
, PN
, PK
, PL
соответственно, то четырёхугольник P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}
гомотетичен четырёхугольнику MNKL
относительно точки P
с коэффициентом 2, а так как MNKL
— квадрат, то четырёхугольник P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}
— также квадрат.