6408. Медианы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке M
; P
— произвольная точка. Прямая l_{a}
проходит через точку A
параллельно прямой PA_{1}
, прямые l_{b}
и l_{c}
определяются аналогично. Докажите, что
а) прямые l_{a}
, l_{b}
и l_{c}
пересекаются в одной точке (обозначим её через Q
);
б) точка M
лежит на отрезке PQ
, причём PM:MQ=1:2
.
Указание. Рассмотрите гомотетию с центром в точке M
и коэффициентом -2
.
Решение. При гомотетии относительно точки M
с коэффициентом -2
точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
перейдут соответственно в точки A
, B
и C
, а прямые A_{1}P
, B_{1}P
и C_{1}P
— соответственно в прямые l_{a}
, l_{b}
и l_{c}
. Следовательно, образ Q
точки P
пересечения прямых A_{1}P
, B_{1}P
, C_{1}P
должен лежать на каждой из прямых l_{a}
, l_{b}
, l_{c}
. Поэтому прямые l_{a}
, l_{b}
, l_{c}
пересекаются в точке Q
, гомотетичной точке P
относительно точки M
с коэффициентом -2
. Следовательно, точка M
лежит на отрезке PQ
и PM:MQ=1:2
.