6409. На плоскости даны точки A
и B
и прямая l
. По какой траектории движется точка пересечения медиан треугольников ABC
, если точка C
движется по прямой l
?
Ответ. Прямая или прямая без точки.
Указание. Рассмотрите гомотетию с центром в середине отрезка AB
и коэффициентом \frac{1}{3}
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, K
— середина отрезка AB
. Тогда KM=\frac{1}{3}KC
. Поэтому при гомотетии с центром K
и коэффициентом \frac{1}{3}
точка C
переходит в точку M
.
Так будет для любой точки C
прямой l
, за исключением случая, когда C
— точка пересечения прямых AB
и l
(если она есть). Следовательно, искомая траектория есть образ прямой l
при гомотетии с центром K
и коэффициентом \frac{1}{3}
, т. е. прямая (за исключением, может быть, одной точки).
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 5, с. 85
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5, с. 388