6410. На окружности фиксированы точки A
и B
, а точка C
движется по этой окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников ABC
.
Ответ. Окружность без двух точек.
Указание. Рассмотрите гомотетию с центром в середине хорды AB
и коэффициентом \frac{1}{3}
.
Решение. Пусть K
— середина хорды AB
; C
— произвольная точка данной окружности, отличная от точек A
и B
; M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
.
Поскольку KM=\frac{1}{3}KC
, то точка M
гомотетична точке C
относительно точки K
с коэффициентом \frac{1}{3}
. Следовательно, искомое геометрическое место точек есть образ данной окружности (без двух точек A
и B
) при рассматриваемой гомотетии, т. е. окружность без двух точек.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 7.26, с. 187
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 19.10, с. 86
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 19.10, с. 389