6410. На окружности фиксированы точки A
и B
, а точка C
движется по этой окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников ABC
.
Ответ. Окружность без двух точек.
Указание. Рассмотрите гомотетию с центром в середине хорды AB
и коэффициентом \frac{1}{3}
.
Решение. Пусть K
— середина хорды AB
; C
— произвольная точка данной окружности, отличная от точек A
и B
; M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
.
Поскольку KM=\frac{1}{3}KC
, то точка M
гомотетична точке C
относительно точки K
с коэффициентом \frac{1}{3}
. Следовательно, искомое геометрическое место точек есть образ данной окружности (без двух точек A
и B
) при рассматриваемой гомотетии, т. е. окружность без двух точек.