6412. С помощью циркуля и линейки впишите в треугольник две равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и другой окружности.
Указание. Пусть M
— точка пересечения биссектрис данного треугольника ABC
. Впишите в треугольник AMB
прямоугольник, одна сторона которого вдвое больше другой.
Решение. Первый способ. Предположим, что нужные окружности S_{1}
и S_{2}
построены. Пусть обе они касаются стороны AB
данного треугольника ABC
; O_{1}
и O_{2}
— центры построенных окружностей, а R
— их радиус.
Если P_{1}
и P_{2}
— проекции центров O_{1}
и O_{2}
на AB
, то O_{1}P_{1}P_{2}O_{2}
— прямоугольник со сторонами R
и 2R
, причём точки O_{1}
и O_{2}
лежат на биссектрисах треугольника ABC
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку M
пересечения биссектрис треугольника ABC
. В треугольник AMB
вписываем прямоугольник O_{1}P_{1}P_{2}P_{2}
с вершинами O_{1}
и O_{2}
на сторонах соответственно AM
и BM
и со стороной P_{1}P_{2}
на стороне AB
так, что P_{1}P_{2}=2O_{1}P_{1}
(это можно сделать с помощью гомотетии с центром A
). Затем проводим окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
и радиусами, равными O_{1}P_{1}
. Можно доказать, что это и есть искомые окружности.
Второй способ. Покажем, как построить указанные окружности, касающиеся стороны AB
данного треугольника ABC
.
Возьмём прямую c
, параллельную прямой AB
. Построим окружности S_{1}
и S_{2}
одного радиуса, касающиеся друг друга и прямой c
. Затем проведём касательные a
и b
к этим окружностям, параллельные прямым BC
и AC
соответственно.
Стороны треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, образованного прямыми a
, b
и c
, соответственно параллельны сторонам треугольника ABC
. Поэтому существует гомотетия, переводящая треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
в треугольник ABC
. Искомые окружности являются образами окружностей S_{1}
и S_{2}
при этой гомотетии.