6414. Дан остроугольный треугольник ABC
. С помощью циркуля и линейки постройте на его сторонах AB
и BC
соответственно точки X
и Y
, для которых BX=XY=YC
.
Указание. Рассмотрите углы при основаниях равнобедренных треугольников XYC
и BXY
или примените гомотетию.
Решение. Первый способ. Предположим, что нужные точки X
и Y
построены. Обозначим \angle ABC=\alpha
. Поскольку треугольник BXY
равнобедренный (BX=XY)
, то \angle XYB=\angle XBY=\alpha
, а так как XYB
— внешний угол равнобедренного треугольника XYC
(XY=YC)
, то \angle XCY=\frac{\alpha}{2}
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. От луча CB
в полуплоскости, содержащей вершину A
, откладываем луч под углом, равным половине угла B
треугольника ABC
. Этот луч пересекает сторону AB
в искомой точке X
. Затем от луча XC
в полуплоскости, содержащей вершину B
, откладываем луч под тем же углом. Пересечение этого луча со стороной BC
даёт искомую точку Y
.
Второй способ. Возьмём на стороне AB
произвольную точку X_{1}
, отличную от B
. Пусть окружность радиуса BX_{1}
с центром X_{1}
пересекает луч BC
в точках B
и Y_{1}
. На прямой BC
построим такую точку C_{1}
, что Y_{1}C_{1}=BX_{1}
и точка Y_{1}
лежит между B
и C_{1}
. При гомотетии с центром B
, переводящей точку C_{1}
в C
, точки X_{1}
и Y_{1}
переходят в искомые точки X
и Y
.