6417. Даны две концентрические окружности S_{1}
и S_{2}
. С помощью циркуля и линейки проведите прямую, на которой эти окружности высекают три равных отрезка.
Указание. Примените симметрию относительно произвольной точки меньшей окружности.
Решение. Первый способ. Предположим, что задача решена. Пусть A
, B
, C
и D
— последовательные точки пересечения проведённой прямой с окружностями S_{1}
и S_{2}
(A
и D
лежат на S_{1}
, а B
и C
— на S_{2}
), и AB=BC=CD
. При симметрии относительно точки C
точка B
переходит в точку D
, а окружность S_{2}
в равную ей окружность, проходящую через точку D
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим образ S
меньшей окружности S_{2}
относительно её произвольной точки C
. Если D
— точка пересечения окружностей S
и S_{1}
, то прямая CD
— искомая.
Второй способ. При гомотетии с коэффициентом \frac{1}{2}
относительно точки D
большей окружности точка B
переходит в точку C
. Следовательно, задача сводится к построению образа меньшей окружности при гомотетии относительно произвольной точки большей окружности с коэффициентом \frac{1}{2}
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 16.18, с. 49
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 16.18, с. 355, № 19.20, с. 390
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 9 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2020. — № 21.36, с. 199