6417. Даны две концентрические окружности S_{1}
и S_{2}
. С помощью циркуля и линейки проведите прямую, на которой эти окружности высекают три равных отрезка.
Указание. Примените симметрию относительно произвольной точки меньшей окружности.
Решение. Первый способ. Предположим, что задача решена. Пусть A
, B
, C
и D
— последовательные точки пересечения проведённой прямой с окружностями S_{1}
и S_{2}
(A
и D
лежат на S_{1}
, а B
и C
— на S_{2})
, и AB=BC=CD
. При симметрии относительно точки C
точка B
переходит в точку D
, а окружность S_{2}
в равную ей окружность, проходящую через точку D
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим образ S
меньшей окружности S_{2}
относительно её произвольной точки C
. Если D
— точка пересечения окружностей S
и S_{1}
, то прямая CD
— искомая.
Второй способ. При гомотетии с коэффициентом \frac{1}{2}
относительно точки D
большей окружности точка B
переходит в точку C
. Следовательно, задача сводится к построению образа меньшей окружности при гомотетии относительно произвольной точки большей окружности с коэффициентом \frac{1}{2}
.