6419. С помощью циркуля и линейки постройте хорду данной окружности, которую два данных радиуса разделили бы на три равные части.
Указание. Примените гомотетию.
Решение. Предположим, что нужная хорда AB
построена. Пусть радиусы OP
и OQ
данной окружности разделили её на три отрезка: AM=MN=NB
. Тогда середина F
хорды AB
является и серединой отрезка MN
. Поэтому точка K
пересечения окружности с лучом OF
— середина дуги PQ
. Следовательно, дуги AP
и BQ
равны, а хорды PQ
и AB
параллельны.
Продолжим радиусы OA
и OB
до пересечения с прямой PQ
в точках A_{1}
и B_{1}
соответственно. Поскольку треугольники AOB
и A_{1}OB_{1}
гомотетичны относительно точки O
, то из равенства AM=MN=NB
следует равенство A_{1}P=PQ=QB_{1}
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. На прямой PQ
откладываем вне окружности отрезки PA_{1}
и QB_{1}
, равные отрезку PQ
. Пересечения лучей A_{1}O
и B_{1}O
с данной окружностью есть искомые точки A
и B
.