6420. С помощью циркуля и линейки впишите в данный треугольник ромб так, чтобы один из его углов совпал с углом треугольника.
Решение. Предположим, что задача решена. Пусть вершины D
, E
и F
ромба ADEF
лежат на сторонах AB
, BC
и AC
данного треугольника ABC
. Тогда AE
— биссектриса угла BAC
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведём биссектрису AE
треугольника ABC
. Через точку E
проведём прямую, параллельную AB
. Пусть она пересекает сторону AC
в точке F
. Аналогично построим точку D
на стороне AB
.
Четырёхугольник ADEF
— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. Кроме того,
\angle DAE=\angle FAE=\angle DEA,
поэтому треугольник ADE
— равнобедренный. Значит, AD=DE
. Следовательно, четырёхугольник ADEF
— ромб.
Источник: Петерсен Ю. Методы и теории для решения геометрических задач на построение, приложенные более чем к 400 задачам. — М.: Типография Э. Лисснера и Ю. Романа, 1892. — № 170, с. 30