6421. Вершины K
и N
треугольника KMN
перемещаются по сторонам соответственно AB
и AC
угла BAC
, а стороны треугольника KMN
соответственно параллельны трём данным прямым. Найдите геометрическое место вершин M
.
Ответ. Луч с началом в точке A
.
Указание. Примените гомотетию.
Решение. Пусть KMN
и K_{1}M_{1}N_{1}
— два таких треугольника. Их стороны соответственно параллельны. При гомотетии с центром в точке A
, переводящей вершину K
в вершину K_{1}
, точка N
перейдёт в точку N_{1}
, прямая KM
— в параллельную ей прямую K_{1}M_{1}
, а прямая NM
— в параллельную ей прямую N_{1}M_{1}
. Поэтому точка M
пересечения прямых KM
и NM
перейдёт в точку пересечения их образов, т. е. в точку M_{1}
. Следовательно, точка M_{1}
лежит на луче AM
.
Ясно также, что любая точка X
луча AM
является вершиной некоторого треугольника, удовлетворяющего условию задачи.