6422. С помощью циркуля и линейки впишите в данный треугольник другой треугольник, стороны которого соответственно параллельны трём данным прямым.
Указание. Рассмотрите гомотетию с центром в одной из вершин данного треугольника.
Решение. Предположим, что задача решена. Пусть вершины A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
лежат на сторонах соответственно BC
, AC
и AB
данного треугольника ABC
, а стороны B_{1}C_{1}
, A_{1}C_{1}
и A_{1}B_{1}
соответственно параллельны трём данным прямым a
, b
и c
.
Пусть C_{2}
— произвольная точка луча AB
. Рассмотрим гомотетию с центром A
, переводящую точку C_{2}
в точку C_{1}
. При этой гомотетии треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
переходит в треугольник A_{2}B_{2}C_{2}
, стороны которого соответственно параллельны прямым a
, b
и c
, а вершина A_{2}
лежит на луче AA_{1}
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим произвольный треугольник A_{2}B_{2}C_{2}
, стороны которого B_{2}C_{2}
, A_{2}C_{2}
и A_{2}B_{2}
соответственно параллельны данным прямым a
, b
и c
, а вершины C_{2}
и B_{2}
лежат на лучах AB
и AC
. Пересечение луча AA_{2}
со стороной BC
есть искомая вершина A_{1}
.
Источник: Петерсен Ю. Методы и теории для решения геометрических задач на построение, приложенные более чем к 400 задачам. — М.: Типография Э. Лисснера и Ю. Романа, 1892. — № 154, с. 28