6423. В четырёхугольнике ABCD
стороны AB
и CD
равны, причём лучи AB
и DC
пересекаются в точке O
. Докажите, что прямая, проходящая через середины диагоналей, перпендикулярна биссектрисе угла AOD
.
Указание. Отложите на лучах OA
и OD
отрезки OB_{1}
и OC_{1}
, равные AB
и CD
соответственно, и докажите, что треугольник OB_{1}C_{1}
гомотетичен треугольнику с вершинами в серединах отрезков AD
, AC
и BD
. (Или спроектируйте середины отрезков AC
и BD
на указанную биссектрису).
Решение. Первый способ. Пусть M
и N
— середины диагоналей AC
и BD
, а K
— середина стороны AD
. Отложим на лучах OA
и OD
отрезки OB_{1}
и OC_{1}
, равные AB
соответственно. Поскольку MK
и KN
— средние линии треугольников ACD
и DAB
, то стороны равнобедренного треугольника MKN
соответственно параллельны сторонам треугольника C_{1}OB_{1}
, а так как биссектриса равнобедренного треугольника C_{1}OB_{1}
перпендикулярна основанию B_{1}C_{1}
, то она перпендикулярна и прямой MN
, параллельной этому основанию.
Второй способ. Обозначим \angle AOD=2\alpha
. Пусть M_{1}
и N_{1}
— проекции середин M
и N
диагоналей AC
и BD
на биссектрису угла AOD
. Тогда
OM_{1}=\frac{1}{2}(AO+OC)\cos\alpha,~ON_{1}=\frac{1}{2}(OD+OB)\cos\alpha.
Поскольку
AO+OC=AB+OB+OC=CD+OB+OC=
=OB+(OC+CD)=OB+OD,
то точки M_{1}
и N_{1}
совпадают. Следовательно, MN
перпендикулярно биссектрисе угла AOD
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 6.19, с. 152
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 6.22, с. 154