6425. На плоскости расположены три окружности S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
радиусов r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
соответственно — каждая вне двух других, причём r_{1}\gt r_{2}
и r_{1}\gt r_{3}
. Из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям S_{1}
и S_{2}
проведены касательные к окружности S_{3}
, а из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям S_{1}
и S_{3}
проведены касательные к окружности S_{2}
. Докажите, что последние две пары касательных образуют четырёхугольник, в который можно вписать окружность, и найдите её радиус.
Ответ. \frac{r_{1}r_{2}r_{3}}{r_{1}r_{3}+r_{1}r_{2}-r_{2}r_{3}}
.
Указание. Примените гомотетию.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
— центры окружностей S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
соответственно; A
— точка пересечения общих внешних касательных к окружностям S_{1}
и S_{3}
, B
— к окружностям S_{1}
и S_{2}
(рис. 1).
Поскольку точка пересечения общих внешних касательных к двум окружностям является их центром гомотетии, то четвёртая окружность должна быть гомотетичной окружности S_{2}
с центром гомотетии A
и окружности S_{3}
с центром гомотетии B
. Поэтому её центр O
должен лежать на пересечении отрезков AO_{2}
и BO_{3}
.
Докажем теперь существование такого числа r
, что окружность S
с центром O
и радиусом r
гомотетична S_{2}
с центром гомотетии A
(т. е. \frac{r}{r_{2}}=\frac{AO}{AO_{2}}
) и одновременно гомотетична S_{3}
с центром гомотетии B
(т. е. \frac{r}{r_{3}}=\frac{BO}{BO_{3}}
), и найдём число r
.
Через точку A
проведём прямую, параллельную O_{1}B
, до пересечения с прямой BO_{3}
в точке T
(рис. 2). Из подобия треугольников AO_{3}T
и O_{1}O_{3}B
следует, что
AT=BO_{1}\cdot\frac{AO_{3}}{O_{1}O_{3}},
а из подобия треугольников AOT
и O_{2}OB
—
\frac{AO}{OO_{2}}=\frac{AT}{BO_{2}}=\frac{BO_{1}\cdot\frac{AO_{3}}{O_{1}O_{3}}}{BO_{2}}=\frac{BO_{1}}{BO_{2}}\cdot\frac{AO_{3}}{O_{1}O_{3}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\cdot\frac{r_{3}}{r_{1}-r_{3}}.
Поэтому
\frac{r}{r_{2}}=\frac{AO}{AO_{2}}=\frac{AO}{AO+OO_{2}}=\frac{r_{1}r_{3}}{r_{1}r_{3}+r_{2}(r_{1}-r_{3})}=\frac{r_{1}r_{3}}{r_{1}r_{3}+r_{1}r_{2}-r_{2}r_{3}}.
Отсюда находим, что
r=\frac{r_{1}r_{2}r_{3}}{r_{1}r_{3}+r_{1}r_{2}-r_{2}r_{3}}.
Ту же самую величину мы получим и при втором способе нахождения r
— из соотношения \frac{r}{r_{3}}=\frac{BO}{BO_{3}}
(в этом случае r_{2}
и r_{3}
просто поменяются местами). Тем самым утверждение задачи доказано.