6432. О преобразовании f
известно, что если A'
и B'
— образы точек соответственно A
и B
, то \overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}
, где k
— постоянное число, отличное от нуля. Докажите, что при k=1
преобразование f
— параллельный перенос, а при k\ne1
— гомотетия.
Решение. Пусть k=1
, а O
— фиксированная точка плоскости, O'
её образ при отображении f
. Тогда для любой точки M
и её образа M'
верно равенство
\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'M'}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OO'}+k\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OO'}.
Следовательно, f
— параллельный перенос на вектор \overrightarrow{OO'}
.
Пусть теперь k\ne1
, а A'
, B'
и C'
— образы при отображении f
точек соответственно A
, B
и C
, не лежащих на одной прямой.
Предположим, что прямая A'B'
совпала с прямой AB
, B'C'
— с прямой BC
и A'C'
— с прямой AC
. Тогда точки A'
, B'
и C'
совпали с точками A
, B
и C
соответственно, что невозможно.
Пусть A'B'
и AB
— различные прямые. Тогда прямые AA'
и BB'
не параллельны, поскольку иначе четырёхугольник ABB'A'
был бы параллелограммом (AA'\parallel BB'
и A'B'\parallel AB
, так как \overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}
), а тогда \overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{AB}
, т. е. k=1
.
Пусть прямые A'B'
и AB
пересекаются в точке O
. Треугольники AOB
и A'OB'
подобны с коэффициентом k
, поэтому, \overrightarrow{OA'}=k\overrightarrow{OA}
, т. е. O
— неподвижная точка преобразования f
. Значит, для любой точки X
и её образа X'
верно равенство \overrightarrow{OX'}=\overrightarrow{O'X'}=k\overrightarrow{OX}
. Следовательно, преобразование f
— гомотетия с центром O
и коэффициентом k
.