6433. Теорема о композиции гомотетий. Докажите, что композиция двух гомотетий с коэффициентами k_{1}
и k_{2}
, где k_{1}k_{2}\ne1
, является гомотетией с коэффициентом k_{1}k_{2}
, причём её центр лежит на прямой, проходящей через центры исходных гомотетий. Исследуйте случай k_{1}k_{2}=1
.
Решение. Лемма. О преобразовании f
известно, что если A'
и B'
образы точек соответственно A
и B
, то \overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}
, где k
— постоянное число, отличное от нуля. Тогда преобразование f
— параллельный перенос, если k=1
, и гомотетия, если k\ne1
.
Доказательство. Пусть k=1
, а O
— фиксированная точка плоскости, O'
её образ при отображении f
. Тогда для любой точки M
и её образа M'
верно равенство
\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'M'}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OO'}+k\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OO'}.
Следовательно, f
— параллельный перенос на вектор \overrightarrow{OO'}
.
Пусть теперь k\ne1
, а A'
, B'
и C'
— образы при отображении f
точек соответственно A
, B
и C
, не лежащих на одной прямой.
Предположим, что прямая A'B'
совпала с прямой AB
, B'C'
— с прямой BC
и A'C'
— с прямой AC
. Тогда точки A'
, B'
и C'
совпали с точками A
, B
и C
соответственно, что невозможно.
Пусть A'B'
и AB
— различные прямые. Тогда прямые AA'
и BB'
не параллельны, поскольку иначе четырёхугольник ABB'A'
был бы параллелограммом (AA'\parallel BB'
и A'B'\parallel AB
, так как \overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}
), а тогда \overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{AB}
, т. е. k=1
.
Пусть прямые A'B'
и AB
пересекаются в точке O
. Треугольники AOB
и A'OB'
подобны с коэффициентом k
, поэтому, \overrightarrow{OA'}=k\overrightarrow{OA}
, т. е. O
— неподвижная точка преобразования f
. Значит, для любой точки X
и её образа X'
верно равенство \overrightarrow{OX'}=\overrightarrow{O'X'}=k\overrightarrow{OX}
. Следовательно, преобразование f
— гомотетия с центром O
и коэффициентом k
. Лемма доказана.
Пусть H_{O_{1}}^{k_{1}}
и H_{O_{2}}^{k_{2}}
— гомотетии с центрами O_{1}
, O_{2}
и коэффициентами k_{1}
, k_{2}
; A
и B
— произвольные точки, A'=H_{O_{1}}^{k_{1}}(A)
, B'=H_{O_{1}}^{k_{1}}(B)
, A''=H_{O_{2}}^{k_{2}}(A')
, B''=H_{O_{2}}^{k_{2}}(B')
. Тогда
\overrightarrow{A'B'}=k_{1}\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{A''B''}=k_{2}\overrightarrow{A'B'}=k_{2}k_{1}\overrightarrow{AB}.
Если k_{1}k_{2}=1
, то по лемме преобразование H=H_{O_{2}}^{k_{2}}\circ H_{O_{1}}^{k_{1}}
— параллельный перенос, а при k_{1}k_{2}\ne1
— гомотетия с коэффициентом k_{1}k_{2}
.
Остаётся проверить, что последнем случае неподвижная точка преобразования H
лежит на прямой O_{1}O_{2}
. Действительно, из равенств \overrightarrow{O_{1}A'}=k_{1}\overrightarrow{O_{1}A}
и \overrightarrow{O_{2}A''}=k_{2}\overrightarrow{O_{2}A'}
следует, что
\overrightarrow{O_{2}A''}=k_{2}\overrightarrow{O_{2}A'}=k_{2}(\overrightarrow{O_{2}O_{1}}+\overrightarrow{O_{1}A'})=k_{2}(\overrightarrow{O_{2}O_{1}}+k_{1}\overrightarrow{O_{1}A})=
=k_{2}(\overrightarrow{O_{2}O_{1}}+k_{1}(\overrightarrow{O_{1}O_{2}}+\overrightarrow{O_{2}A}))=k_{2}\overrightarrow{O_{2}O_{1}}-k_{1}k_{2}\overrightarrow{O_{2}O_{1}}+k_{1}k_{2}\overrightarrow{O_{2}A}=
=(k_{2}-k_{1}k_{2})\overrightarrow{O_{2}O_{1}}+k_{1}k_{2}\overrightarrow{O_{2}A}.
Пусть O
— неподвижная точка преобразования H
. Тогда по доказанному
\overrightarrow{O_{2}O}=(k_{2}-k_{1}k_{2})\overrightarrow{O_{2}O_{1}}+k_{1}k_{2}\overrightarrow{O_{2}O}.
Из этого уравнения находим, что
\overrightarrow{O_{2}O}=\frac{k_{1}k_{2}-k_{2}}{1-k_{1}k_{2}}\overrightarrow{O_{2}O_{1}}.
Значит, векторы \overrightarrow{O_{2}O}
и \overrightarrow{O_{2}O_{1}}
коллинеарны. Следовательно, неподвижная точка O
гомотетии H
, т. е. центр этой гомотетии, лежит на прямой O_{1}O_{2}
.