6448. Вокруг четырёхугольника ABCD
можно описать окружность, K
— точка на диагонали BD
. Прямая CK
пересекает сторону AD
в точке M
. Докажите, что окружности, описанные около треугольников BCK
и ACM
, касаются.
Решение. Вписанные в данную окружность углы DBC
и DAC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Обозначим \angle DBC=\angle DAC=\alpha
. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, описанных около треугольников BCK
и ACM
соответственно. Рассмотрим случай, когда точки O_{1}
и O_{2}
лежат по одну сторону от прямой CK
.
Если при этом \alpha\leqslant90^{\circ}
, то
\angle O_{1}CK=90^{\circ}-\alpha,~\angle O_{2}CM=90^{\circ}-\alpha
(из равнобедренных треугольников CO_{1}K
и CO_{2}M
).
Если же \alpha\gt90^{\circ}
, то
\angle O_{1}CK=\angle O_{2}CM=\alpha-90^{\circ}.
Значит, точки C
, O_{1}
и O_{2}
лежат на одной прямой. Следовательно, окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются в точке C
.
Аналогично для случая, когда точки O_{1}
и O_{2}
лежат по разные стороны от прямой CK
.
Источник: Соросовская олимпиада. — 1994, I, 2-й тур, первый раунд, 9 класс