6454. Пусть l_{a}
, l_{b}
и l_{c}
— длины биссектрис углов A
, B
и C
треугольника ABC
, а m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
— длины соответствующих медиан. Докажите, что
\frac{l_{a}}{m_{a}}+\frac{l_{b}}{m_{b}}+\frac{l_{c}}{m_{c}}\gt1.
Указание. Пусть a\leqslant b\leqslant c
— стороны треугольника ABC
. Тогда \frac{l_{a}}{m_{a}}+\frac{l_{b}}{m_{b}}+\frac{l_{c}}{m_{c}}\gt\frac{l_{a}}{m_{a}}+\frac{l_{b}}{m_{b}}
.
Решение. Докажем сначала следующее утверждение. Если точка M
лежит на стороне YZ
треугольника XYZ
и не совпадает с вершиной треугольника, то отрезок XM
меньше, чем наибольшая из сторон XY
и XZ
(рис. 1). Действительно, один из углов XMY
и XMZ
не меньше 90^{\circ}
. Пусть это угол XMZ
. Тогда в треугольнике XMZ
против этого угла лежит наибольшая сторона, т. е. сторона XZ
. Таким образом, отрезок XM
меньше одной из сторон XY
и XZ
. Значит, он меньше наибольшей из этих сторон. Утверждение доказано.
Пусть a
, b
и c
— стороны соответственно BC
, AC
и AB
треугольника ABC
(a\leqslant b\leqslant c
); l_{a}
, l_{b}
, l_{c}
— биссектрисы треугольника, проведённые из соответствующих вершин; m_{a}
, m_{b}
, m_{a}
— соответствующие медианы; I
— точка пересечения биссектрис углов A
и B
(рис. 2). Тогда по доказанному m_{a}\lt c
и m_{b}\lt c
. Кроме того, для треугольника AIB
верно неравенство AI+BI\gt AB=c
. Следовательно,
\frac{l_{a}}{m_{a}}+\frac{l_{b}}{m_{b}}+\frac{l_{c}}{m_{c}}\gt\frac{l_{a}}{m_{a}}+\frac{l_{b}}{m_{b}}\gt\frac{l_{a}}{c}+\frac{l_{b}}{c}=\frac{l_{a}+l_{b}}{c}\gt\frac{AI+IB}{c}\gt\frac{c}{c}=1.
Автор: Маркелов С. В.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2004, LXVII, 9 класс
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 4, с. 61