6456. Треугольник ABC
с острым углом \angle A=\alpha
вписан в окружность. Её диаметр, проходящий через основание высоты треугольника, проведённой из вершины B
, делит треугольник ABC
на две части одинаковой площади. Найдите угол B
.
Ответ. 180^{\circ}-2\alpha
или 90^{\circ}-\alpha
.
Решение. Пусть H
— основание высоты треугольника ABC
, проведённой из вершины B
, M
— середина AC
. Рассмотрим случай, когда указанный в условии диаметр пересекает сторону AB
в некоторой точке O
. Если точка O
совпадает с B
, то совпадают точки H
и M
. Тогда треугольник ABC
— равнобедренный, значит,
\angle B=180^{\circ}-2\angle BAC=180^{\circ}-2\alpha.
Если точки O
и B
различны, то поскольку
S_{\triangle AMB}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AHO},
то отрезки OH
и BM
пересекаются в некоторой точке K
. Тогда
S_{\triangle BOK}=S_{\triangle MKH}~\Rightarrow~S_{\triangle BOH}=S_{\triangle BMH}.
Поскольку BH
— общее основание равновеликих треугольников BOH
и BMH
, то их высоты, опущенные из вершин O
и M
на это основание, равны. Следовательно, MO\parallel BH
. Поэтому прямая OM
— серединный перпендикуляр к хорде AC
. Значит, на этой прямой лежит центр окружности. Таким образом, точка O
принадлежит двум различным диаметрам окружности, поэтому является её центром. Тогда
\angle B=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-\alpha.
Если указанный в условии диаметр пересекает сторону BC
, то \angle A=90^{\circ}\gt\alpha
, что невозможно.