6457. В параллелограмме ABCD
точки M
и N
— середины сторон BC
и CD
соответственно. Могут ли лучи AM
и AN
делить угол BAD
на три равные части?
Ответ. Нет.
Указание. Докажите, что лучи AM
и AN
делят диагональ BD
на три равные части.
Решение. Предположим, что это возможно. Пусть \angle BAM=\angle MAN=\angle DAN
, лучи AM
и AN
пересекают диагональ BD
в точках K
и L
соответственно, а O
— центр параллелограмма. Поскольку K
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, то
BK=\frac{2}{3}BO=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}BD=\frac{1}{3}BD.
Аналогично докажем, что DL=\frac{1}{3}BD
. Значит, BK=KL=DL
.
В треугольнике ABL
медиана AK
является биссектрисой, поэтому треугольник ABL
— равнобедренный. Тогда AK
— его высота. Аналогично докажем, что AL
— высота треугольника AKD
. Таким образом AK\perp BD
и AL\perp BD
, т. е. из точки A
на прямую BD
опущено два различных перпендикуляра, что невозможно.
Автор: Кузнецов Д. Ю.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1997-98, XXIV, окружной этап, 8 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1998, № 5, с. 50
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 138, с. 23