6458. Пусть O
— центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC
, S_{A}
, S_{B}
, S_{C}
— окружности с центром O
, касающиеся сторон BC
, CA
и AB
соответственно. Докажите, что сумма трёх углов: между касательными к S_{A}
, проведёнными из точки A
, к S_{B}
— из точки B
, и к S_{C}
— из точки C
, равна 180^{\circ}
.
Решение. Пусть окружность с центром O
касается стороны AC
в точке B_{1}
, а касательных к этой окружности, проведённых из точки B
, — в точках B_{2}
и B_{3}
. Тогда прямоугольные треугольники BOB_{2}
, BOB_{3}
, AOB_{1}
и COB_{1}
равны по катету (радиус этой окружности) и гипотенузе (радиус описанной окружности треугольника ABC
). Поэтому
\angle B_{2}BB_{3}=\angle OAC+\angle OCA.
Аналогично докажем, что остальные два угла равны \angle OAB+\angle OBA
и \angle OBC+\angle OCB
. Следовательно, сумма трёх углов, о которых говорится в условии задачи, равна
(\angle OAC+\angle OCA)+(\angle OAB+\angle OBA)+(\angle OBC+\angle OCB)=
=(\angle OAC+\angle OAB)+(\angle OCA+\angle OCB)+(\angle OBC+\angle OBA)=
=\angle BAC+\angle ACB+\angle ABC=180^{\circ}.