6459. Две окружности пересекаются в точках P
и Q
. Прямая пересекает эти окружности последовательно в точках A
, B
, C
и D
, как показано на рисунке. Докажите, что \angle APB=\angle CQD
.
Указание. Проведите общую хорду данных окружностей и воспользуйтесь теоремой о вписанных углах.
Решение. По теореме о вписанных углах
\angle PAC=\angle PQC,~\angle PBD=\angle PQD.
Поскольку PBD
— внешний угол треугольника ABP
, то
\angle PBD=\angle PAB+\angle APB.
Следовательно,
\angle APB=\angle PBD-\angle PAB=\angle PBD-\angle PAC=\angle PQD-\angle PQC=\angle CQD,
что и требовалось доказать.
