6460. Окружность S
с центром O
и окружность S'
пересекаются в точках A
и B
. На дуге окружности S
, лежащей внутри S'
, взята точка C
. Точки пересечения AC
и BC
с S'
, отличные от A
и B
обозначим через E
и D
соответственно. Докажите, что прямые DE
и OC
перпендикулярны.
Решение. Первый способ. Пусть касательная к окружности S
, проведённая через точку C
, пересекает окружность S'
в точке M
, лежащей на дуге AD
, не содержащей точки E
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ACM=\angle ABC=\angle AED.
Поэтому CM\parallel DE
, а так как OC\perp CM
как радиус окружности S
, проведённый в точку касания, то OC\perp DE
.
Второй способ. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
\angle BDE=\angle BAE=\angle BAC=\alpha.
Из равнобедренного треугольника BOC
находим, что
\angle BCO=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BOC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\alpha)=90^{\circ}-\alpha.
Пусть P
— точка пересечения прямых DE
и OC
. Тогда
\angle DCP=\angle BCO=90^{\circ}-\alpha.
Следовательно,
\angle CPD=180^{\circ}-(\angle DCP+\angle CDP)=180^{\circ}-(\angle DCP+\angle BDE)=
=180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha+\alpha)=90^{\circ},
т. е. DE\perp OC
.