6462. Из центра O
правильного n
-угольника A_{1}A_{2}\dots A_{n}
проведены n
векторов в его вершины. Даны такие числа a_{1}
, a_{2}
, \dots
, a_{n}
, что a_{1}\gt a_{2}\gt\dots \gt a_{n}\gt0
. Докажите, что линейная комбинация векторов: a_{1}\overrightarrow{OA_{1}}+a_{2}\overrightarrow{OA_{2}}+\dots+a_{n}\overrightarrow{OA_{n}}
отлична от нулевого вектора.
Указание. Найдите ось, при проектировании на которую сумма векторов будет ненулевой.
Решение. Введём прямоугольную систему координат: начало поместим в центр n
-угольника, ось OY
направим по прямой OA_{n}
; будем для определённости считать, что вершины n
-угольника пронумерованы по часовой стрелке. Рассмотрим проекции векторов на ось OX
.
Множество всех векторов \overrightarrow{OA_{i}}
разобьём на пары: в одну пару включаем векторы \overrightarrow{OA_{i}}
и \overrightarrow{OA_{n-i}}
(i\lt n-i
, т. е. i\lt\frac{n}{2}
), т. е. 1-й и (n-1)
-й, 2-й и (n-2)
-й, и т. д. На аналогичные пары разобьём числа a_{i}
. В пары войдут все векторы, кроме n
-го и, в случае чётного n
, — вектора с номером \frac{n}{2}
. В каждой паре чисел (a_{i};a_{n-i})
при i\lt\frac{n}{2}
первое число больше второго, т. е. a_{i}\gt a_{n-i}
.
Проекции на ось OX
векторов \overrightarrow{OA_{i}}
и \overrightarrow{OA_{n-i}}
равны по модулю и противоположны по знаку. Следовательно, проекция на ось OX
линейной комбинации a_{1}\overrightarrow{OA_{1}}+a_{2}\overrightarrow{OA_{2}}+\dots+a_{n}\overrightarrow{OA_{n}}
положительна. Проекции на ось OX
тех векторов, которые не вошли в пары, равны 0. Значит, и проекция всей линейной комбинации на эту ось положительна. Следовательно, эта линейная комбинация отлична от нуля.