6464. В плоскости выпуклого четырёхугольника ABCD
расположена точка P
. Проведены биссектрисы PK
, PL
, PM
и PN
треугольников APB
, BPC
, CPD
и DPA
соответственно.
а) Найдите хотя бы одну такую точку P
, для которой четырёхугольник KLMN
— параллелограмм.
б) Найдите все такие точки.
Решение. Пользуясь свойством биссектрисы треугольника, заметим, что если AP=PC
, то
\frac{AK}{KB}=\frac{AP}{PB}=\frac{CP}{PB}=\frac{CL}{LB},
значит, KL\parallel AC
. Аналогично доказывается, что MN\parallel AC
. Таким образом, если в качестве P
взять точку пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям AC
и BD
, т. е. так, что AP=CP
и BP=DP
, то KL\parallel AC\parallel MN
и LM\parallel BD\parallel KN
. Следовательно, KLMN
— параллелограмм.
Других таких точек в плоскости четырёхугольника ABCD
нет. В самом деле, пусть AP\gt CP
. Тогда
\frac{AK}{KB}=\frac{AP}{PB}\gt\frac{CP}{PB}=\frac{CL}{LB},
поэтому точка K
отрезка AB
расположена от прямой AC
дальше, чем L
. Аналогично, точка N
расположена от прямой AC
дальше, чем M
. Таким образом, если провести из точек K
и N
прямые, параллельные AC
, то отрезки KL
и MN
будут идти между этими прямыми, приближаясь к AC
, и не могут быть параллельны друг другу.