6465. Дана окружность с диаметром AB
. Другая окружность с центром в точке A
пересекает отрезок AB
в точке C
, причём AC\lt\frac{1}{2}AB
. Общая касательная двух окружностей касается первой окружности в точке D
. Докажите, что прямая CD
перпендикулярна AB
.
Указание. Пусть E
— точка касания второй окружности с общей касательной. Докажите равенство треугольников AED
и ACD
.
Решение. Пусть O
— центр первой окружности, E
— точка касания второй окружности с общей касательной. Треугольник AOD
— равнобедренный (OA=OD
), поэтому \angle DAO=\angle ADO
, а так как AE\parallel OD
(радиусы, проведённые в точку касания), то \angle EAD=\angle ADO=\angle DAO
.
Треугольники AED
и ACD
равны по двум сторонам и углу между ними, значит, \angle ACD=\angle AED=90^{\circ}
.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2002, LXV, 8 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2002, № 4, с. 52
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 3, с. 52