6467. Биссектрисы углов A
и C
треугольника ABC
пересекают описанную около него окружность в точках E
и D
соответственно. Отрезок DE
пересекает стороны AB
и BC
в точках F
и G
. Пусть I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
. Докажите, что четырёхугольник BFIG
— ромб.
Решение. Из теоремы о вписанных углах и условия задачи следует, что
\angle BED=\angle BCD=\angle ACD=\angle AED,
поэтому при симметрии относительно прямой DE
прямая BE
переходит в прямую AE
. Аналогично докажем что при этой симметрии прямая BD
переходит в прямую DC
. Значит, точка B
пересечения прямых BE
и BD
переходит в точку I
пересечения прямых AE
и DC
. Поэтому прямая FG
проходит через середину диагонали BI
четырёхугольника BFIG
и перпендикулярна ей. Кроме того, BI
— биссектриса угла FBG
, значит, BFIG
— ромб.
Автор: Жгун В. С.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2002, LXV, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2002, № 4, с. 53
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 3, с. 53