6468. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
точки E
и F
являются серединами сторон BC
и CD
соответственно. Отрезки AE
, AF
и EF
делят четырёхугольник на четыре треугольника, площади которых равны (в каком-то порядке) последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника ABD
?
Ответ. 6.
Решение. Пусть площади треугольников, на которые Отрезки AE
, AF
и EF
делят четырёхугольник ABCD
, равны n
, n+1
, n+2
и n+3
. Тогда площадь четырёхугольника равна 4n+6
. Поскольку EF
— средняя линия треугольника BCD
, то S_{\triangle BCD}=4S_{\triangle ECF}
, а так как S_{\triangle BCD}\geqslant n
, то
S_{\triangle ABD}=S_{ABCD}-S_{\triangle BCD}\leqslant(4n+6)-4n=6.
Осталось привести пример четырёхугольника ABCD
, удовлетворяющего условию задачи, и такого, что S_{\triangle ABD}=6
.
Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD
с основаниями AD=6
, BC=4
и высотой 2. Тогда
S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}BE\cdot2=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2=2,~S_{\triangle CFE}=\frac{1}{2}CE\cdot1=\frac{1}{2}\cdot2\cdot1=1,
S_{\triangle ADF}=\frac{1}{2}AD\cdot1=\frac{1}{2}\cdot6\cdot1=3,
S_{\triangle AEF}=S_{ABCD}-1-2-3=\frac{4+6}{2}\cdot2-6=4,
и при этом
S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AD\cdot2=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2=6.