6471. Окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
, лежащими по разные стороны от прямой AB
, пересекаются в точках A
и B
. На окружностях отмечены точки соответственно M_{1}
и M_{2}
, равноудалённые от прямой AB
. Докажите, что середина отрезка O_{1}O_{2}
равноудалена от концов отрезка M_{1}M_{2}
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть C
и D
— проекции точек M_{1}
и M_{2}
на прямую AB
, P
— точка пересечения прямых M_{1}M_{2}
и AB
. Прямоугольные треугольники M_{1}CP
и M_{2}DP
равны по катету и противолежащему острому углу, поэтому PM_{1}=PM_{2}
, и P
— середина отрезка M_{1}M_{2}
.
Пусть прямая M_{1}M_{2}
вторично пересекает окружности в точках N_{1}
и N_{2}
соответственно. Тогда
PM_{1}\cdot PN_{1}=PA\cdot PB=PM_{2}\cdot PN_{2},
поэтому PN_{1}=PN_{2}
.
Опустим перпендикуляры O_{1}L_{1}
и O_{2}L_{2}
из центров окружностей на хорды M_{1}N_{1}
и M_{2}N_{2}
. Тогда L_{1}
и L_{2}
— середины этих хорд, значит, P
— середина боковой стороны L_{1}L_{2}
прямоугольной трапеции (или прямоугольника) O_{1}L_{1}L_{2}O_{2}
. Тогда, если M
— середина отрезка O_{1}O_{2}
, то MP
— средняя линия этой трапеции (или прямоугольника). Поэтому MP\perp L_{1}L_{2}
, и MP
— серединный перпендикуляр к отрезку L_{1}L_{2}
, а значит, и к отрезку M_{1}M_{2}
. Следовательно, MM_{1}=MM_{2}
.
Аналогично для остальных случаев.