6472. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
. Точки P
и Q
симметричны точке C
относительно прямых AB
и AD
соответственно. Докажите, что прямая PQ
проходит через ортоцентр (точку пересечения высот) H
треугольника ABD
.
Решение. Воспользуемся следующим свойством ортоцентра треугольника: точка, симметричная ортоцентру относительно прямой, содержащей сторону треугольника, лежит на описанной окружности треугольника.
Пусть лучи DH
и BH
пересекают описанную окружность четырёхугольника ABCD
в точках U
и V
соответственно. Поскольку точки P
и U
симметричны точкам C
и H
относительно прямой AB
, то прямые PH
и CU
пересекаются в некоторой точке X
, лежащей на оси симметрии, т. е. на прямой AB
. Аналогично докажем, что прямые QH
и CV
пересекаются в некоторой точке Y
, лежащей на прямой AD
.
Пусть точки X
и Y
расположены так, как изображено на рис. 1. Тогда
\angle XHU=\angle XUH=\angle CUD=\angle CVD=\angle YHD.
Значит, точки X
, H
и Y
лежат на одной прямой. Следовательно, точки P
, H
и Q
лежат на этой прямой, т. е. прямая PQ
проходит через точку H
.
Аналогично для остальных случаев. (Если рассматривать ориентированные углы, то доказательство проходит для всех случаев одновременно.)