6473. В равнобедренном треугольнике ABC
(AB=BC
) средняя линия, параллельная стороне BC
, пересекается со вписанной окружностью в точке F
, не лежащей на основании AC
. Докажите, что касательная к окружности в точке F
пересекается с биссектрисой угла C
на стороне AB
.
Решение. Пусть указанная касательная пересекает стороны AB
и BC
в точках D
и E
соответственно, а прямую AC
— в точке P
. Точка касания M
вписанной окружности со стороной AC
— середина AC
. Обозначим \angle ACB=\angle CAB=\alpha
.
Поскольку PF=PM
(как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки), то треугольник MPF
— равнобедренный, поэтому
\angle PFM=\angle PMF=\angle ACB=\alpha,~\angle PEC=\angle PFM=\alpha.
Пусть вписанная окружность треугольника ABC
(она же вписанная окружность равнобедренного треугольника CPE
) касается сторон BC
и AB
в точках K
и L
соответственно. Тогда
FE=EK=KC=CM=AM=AL,
поэтому
AD=AL+LD=EF+DF=DE.
Значит, треугольники DAC
и DEC
равны по трём сторонам. Следовательно, CD
— биссектриса угла ACB
, т. е. биссектриса угла ACB
пересекается с прямой DE
в точке D
, лежащей на стороне AB
, что и требовалось доказать.