6479. В неравнобедренном треугольнике ABC
точка I
— центр вписанной окружности, I'
— центр окружности, касающейся стороны AB
и продолжений сторон CB
и CA
; L
и L'
— точки, в которых сторона AB
касается этих окружностей. Докажите, что прямые IL'
, I'L
и высота CH
треугольника ABC
пересекаются в одной точке.
Указание. Пусть F
— точка пересечения прямых IL'
и I'L
, а G
— её проекция на AB
. Докажите, что точки G
и H
совпадают.
Решение. Поскольку центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, точки C
, I
и I'
лежат на одной прямой.
Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается прямой AC
в точке K
, а указанная в условии вневписанная окружность — в точке K'
. Прямоугольные треугольники CKI
и CK'I'
подобны, поэтому
\frac{CI}{CI'}=\frac{IK}{I'K'}=\frac{IL}{I'L'}.
Поскольку H
, L
и L'
— проекции точек C
, I
и I'
на AB
, то
\frac{LH}{L'H}=\frac{CI}{CI'}=\frac{IL}{I'L'}.
Пусть F
— точка пересечения прямых IL'
и I'L
, а G
— её проекция на AB
. Тогда
\frac{GL}{GL'}=\frac{FI}{FL'}=\frac{FL}{FI'}=\frac{IL}{I'L'}=\frac{IK}{I'K'}=\frac{CI}{CI'}=\frac{LH}{L'H}.
Значит, точки G
и H
совпадают. Следовательно, прямые IL'
и I'L
пересекаются на высоте CH
. Что и требовалось доказать.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2001, LXIV, 11 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2001, № 4, с. 50
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 3, с. 51