6481. На катетах CA
и CB
равнобедренного прямоугольного треугольника ABC
выбраны точки D
и E
так, что CD=CE
. Продолжения перпендикуляров, опущенных из точек D
и C
на прямую AE
, пересекают гипотенузу AB
в точках K
и L
. Докажите, что KL=LB
.
Решение. Пусть точка E
лежит на катете AC
. На продолжении этого катета за точку C
отложим отрезок CM
, равный CD
. Поскольку CM=CD=CE
и BM=AC
, прямоугольные треугольники BCM
и ACE
равны по двум катетам.
При повороте вокруг точки C
на 90^{\circ}
, переводящем точку E
в C
, треугольник ACE
переходит в треугольник BCM
, поэтому BM\perp AE
, а так как CL\perp AE
и DK\perp AE
, то DK\parallel CL\parallel BM
. Точка C
— середина отрезка DM
, следовательно, по теореме Фалеса L
— середина отрезка BK
. Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 1.42, с. 14
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 1.43, с. 16