6483. ABCD
— выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные на отрезках AB
и CD
как на диаметрах, касаются внешним образом в точке M
, отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника. Окружность, проходящая через точки A
, M
и C
, вторично пересекает прямую, соединяющую точку M
и середину AB
в точке K
, а окружность, проходящая через точки B
, M
и D
, вторично пересекает ту же прямую в точке L
. Докажите, что |MK-ML|=|AB-CD|
.
Решение. Пусть P
и Q
— середины сторон соответственно AB
и CD
четырёхугольника ABCD
, O_{1}
— центр окружности, проходящей через точки A
, M
и C
, O_{2}
— центр окружности, проходящей через точки B
, M
и D
.
1) Точки M
, P
и Q
лежат на одной прямой. В самом деле, PQ
— линия центров касающихся окружностей, значит прямая PQ
проходит через их точку касания M
.
2) Точки P
и Q
лежат на окружности с диаметром O_{1}O_{2}
. Действительно, AM
— общая хорда пересекающихся окружностей с центрами O_{1}
и P
, поэтому она перпендикулярна их линии центров O_{1}P
. Аналогично O_{2}P\perp BM
, а так как точка M
лежит на окружности с диаметром AB
, то AM\perp BM
. Поэтому \angle O_{1}PO_{2}=90^{\circ}
. Аналогично докажем, что \angle O_{1}QO_{2}=90^{\circ}
. Значит, отрезок O_{1}O_{2}
виден из точек P
и Q
под прямым углом. Следовательно, эти точки лежат на окружности с диаметром O_{1}O_{2}
.
3) Пусть H_{1}
и H_{2}
— проекции точек соответственно O_{1}
и O_{2}
на прямую PQ
. Поскольку диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, то KH_{1}=H_{1}M
и LH_{2}=H_{2}M
.
4) PH_{1}=QH_{2}
, так как проекция середины отрезка O_{1}O_{2}
делит отрезок H_{1}H_{2}
пополам; но эта проекция делит пополам и отрезок PQ
(диаметр, перпендикулярный хорде).
5) Наконец,
|MK-ML|=2|MH_{1}-MH_{2}|=2|MP-MQ|=
=2\left|\frac{1}{2}AB-\frac{1}{2}CD\right|=|AB-CD|.