6484. Четырёхугольник ABCD
— вписанный, K
— середина той дуги AD
, где нет других вершин четырёхугольника. Пусть X
и Y
— точки пересечения прямых BK
и CK
с диагоналями. Докажите, что прямая XY
параллельна AD
.
Решение. Поскольку K
— середина дуги AD
, то
\angle XBY=\angle KBD=\angle ACK=\angle XCY,
т. е. из точек B
и C
, лежащих по одну сторону от прямой XY
, отрезок XY
виден под одним и тем же углом. Значит, точки X
, Y
, B
и C
лежат на одной окружности. По теореме о вписанных углах, опирающихся на одну и ту же дугу,
\angle XYB=\angle XCB=\angle ACB=\angle ADB.
Следовательно, XY\parallel AD
.
Автор: Доценко В. В.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2000, LXIII, отбор на Всероссийскую олимпиаду, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2000, № 4, с. 47