6485. На одной стороне угла с вершиной O
взята точка A
, а на другой — точки B
и C
, причём точка B
лежит между O
и C
. Проведена окружность с центром O_{1}
, вписанная в треугольник OAB
, и окружность с центром O_{2}
, касающаяся стороны AC
и продолжений сторон OA
и OC
треугольника AOC
. Докажите, что если O_{1}A=O_{2}A
, то треугольник ABC
— равнобедренный.
Указание. Докажите, что \angle AO_{1}O_{2}=\frac{1}{2}\angle ABC
и \angle AO_{2}O_{1}=\frac{1}{2}\angle ACB
.
Решение. Поскольку центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, то точки O
, O_{1}
и O_{2}
лежат на одной прямой. Пусть углы при вершинах O
и A
треугольника OAB
равны соответственно \alpha
и \beta
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AO_{1}O_{2}=\angle AOO_{1}+\angle OAO_{1}=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=\frac{1}{2}(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\angle AOB+\angle OAB=\frac{1}{2}\angle ABC.
Пусть угол при вершине A
треугольника OAC
равен \beta'
, а окружность с центром O_{2}
касается луча OA
в точке D
. Тогда
\angle AO_{2}O_{1}=\angle DAO_{2}-\angle AOO_{2}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta')-\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta'-\alpha)=\frac{1}{2}\angle ACO=\frac{1}{2}\angle ACB.
Из условия задачи следует, что \angle AO_{1}O_{2}=\angle AO_{2}O_{1}
, значит, \angle ABC=\angle ACB
. Следовательно, треугольник ABC
— равнобедренный.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2001-02, XXVIII, заключительный этап, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2002, № 5, с. 50
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 642, с. 83