6486. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. На сторонах AB
и BC
выбраны точки M
и N
соответственно, причём 2\angle MON=\angle AOC
. Докажите, что периметр треугольника MBN
не меньше стороны AC
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. При повороте вокруг точки O
, переводящем вершину B
в A
, точка M
переходит в некоторую точку K
, а при повороте вокруг точки O
, переводящем вершину B
в C
, точка N
переходит в некоторую точку L
. При этом треугольник AOK
равен треугольнику BOM
, а треугольник COL
— треугольнику BON
. Поскольку OK=OM
, OL=ON
и
\angle KOL=\angle AOC-(\angle AOK+\angle LOC)=\angle AOC-\angle MON=\angle MON,
то треугольник KOL
равен треугольнику MON
. Поэтому KL=MN
. Следовательно,
P_{\triangle MBN}=BM+MN+NB=AK+KL+LC\geqslant AC.
Остальные случаи рассматриваются аналогично.