6488. Пусть A'
— точка касания вневписанной окружности треугольника ABC
со стороной BC
. Прямая a
проходит через точку A'
и параллельна биссектрисе внутреннего угла A
. Аналогично строятся прямые b
и c
. Докажите, что прямые a
, b
и c
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— точки касания вписанной окружности со сторонами соответственно BC
, AC
и AB
треугольника ABC
. Через точку A_{1}
проведём прямую a_{1}
, параллельную биссектрисе угла BAC
. Поскольку треугольник B_{1}AC_{1}
равнобедренный, то биссектриса его угла при вершине A
перпендикулярна основанию B_{1}C_{1}
, значит, и прямая a_{1}
перпендикулярна B_{1}C_{1}
. Поэтому высота треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
лежит на прямой a_{1}
.
Пусть A_{0}
, B_{0}
и C_{0}
— середины сторон BC
, AC
и AB
соответственно. Поскольку при гомотетии с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом -\frac{1}{2}
треугольник ABC
переходит в треугольник A_{0}B_{0}C_{0}
, то биссектрисы углов BAC
и B_{0}A_{0}C_{0}
параллельны.
Пусть S
— точка пересечения биссектрис треугольника A_{0}B_{0}C_{0}
. Известно, что точки A_{1}
и A'
равноудалены от середины A_{0}
стороны BC
. При симметрии относительно точки S
прямая a_{1}
перейдёт в прямую a
(прямые a_{1}
, a
и A_{0}S
параллельны биссектрисе угла BAC
, а точки A_{1}
и A'
прямых a_{1}
и a
равноудалены от точки A_{0}
прямой A_{0}S
). Аналогично для прямых b_{1}
и b
, c_{1}
и c
.
Таким образом, при этой симметрии каждая из высот треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
перейдёт в соответствующую ей прямую a
, b
и c
. Следовательно, эти прямые пересекутся в точке, симметричной ортоцентру треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
относительно точки S
.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2001-02, XXVIII, заключительный этап, 10 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2002, № 5, с. 50
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 655, с. 85