6489. Пусть ABCD
— вписанный четырёхугольник, O
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
. Пусть окружности, описанные около треугольников ABO
и COD
, пересекаются в точке K
. Точка L
такова, что треугольник BLC
подобен треугольнику AKD
. Докажите, что если четырёхугольник BLCK
выпуклый, то он он является описанным.
Решение. Будем считать, что точка K
лежит внутри треугольника AOD
(все остальные случаи разбираются аналогично). Пусть L'
— точка, симметричная точке L
относительно прямой BC
(рис. 1). Тогда
\angle L'BO=\angle OBC-\angle L'BC=\angle OBC-\angle LBC,
но \angle OBC=\angle OAD
, так как четырёхугольник ABCD
вписанный, следовательно,
\angle L'BO=\angle OAD-\angle KAD=\angle OAK=\angle OBK,
так как четырёхугольник ABOK
вписанный. Аналогично \angle L'CO=\angle OCK
.
Поскольку четырёхугольники ABCD
, ABOK
и CDKO
вписанные, то
\angle BKO=\angle BAO=\angle CDO=\angle CKO.
Рассмотрим четырёхугольник BL'CK
(рис. 2). Пусть N
— точка пересечения CK
и BL'
, а M
— точка пересечения BK
и CL'
. По ранее доказанному CO
, BO
и KO
— биссектрисы углов NBK
, MCK
и MKN
, поэтому точка O
равноудалена от сторон четырёхугольника ML'NK
, т. е. является центром вписанной в него окружности. Пусть P
, Q
, R
, T
— точки касания этой окружности со сторонами ML'
, L'N
, NK
и KM
соответственно. Тогда
CK+BL'=(CR+KR)+(BQ-L'Q)=CP+KT+BT-L'P=
=(KT+BT)+(CP-L'P)=KB+CL'.
Значит, CK+BL=KB+CL
. Следовательно, и четырёхугольник BLCK
является описанным, что и требовалось доказать.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2001-02, XXVIII, заключительный этап, 11 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2002, № 5, с. 51
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 662, с. 86