6493. На высотах (но не на их продолжениях) остроугольного треугольника ABC
взяты точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, отличные от точки пересечения высот H
, причём сумма площадей треугольников ABC_{1}
, BCA_{1}
, CAB_{1}
равна площади треугольника ABC
. Докажите, что окружность, описанная около треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, проходит через точку H
.
Решение. Пусть окружность, проходящая через точки H
, A_{1}
и B_{1}
, пересекает второй раз прямую CH
в точке C_{1}'
. Достаточно доказать, что C_{1}'
совпадает с C_{1}
.
Рассмотрим точку F
, диаметрально противоположную точке H
. Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}'
лежат на окружности с диаметром HF
, значит, углы HA_{1}F
, HB_{1}F
и HC_{1}'F
— прямые. Поэтому A_{1}F\parallel BC
, B_{1}F\parallel AC
и C_{1}'F\parallel AB
. Поскольку у треугольников BFC
и BA_{1}C
общее основание BC
и равные высоты, опущенные на это основание, то S_{\triangle BFC}=S_{\triangle BA_{1}C}
. Аналогично, S_{\triangle AFC}=S_{\triangle AB_{1}C}
и S_{\triangle AFB}=S_{\triangle AC_{1}'B}
.
Заметим, что точка F
лежит внутри треугольника ABC
: поскольку A_{1}
и B_{1}
лежат на высотах, а не на их продолжениях, точка F
лежит внутри угла ACB
; если бы при этом она лежала вне треугольника ABC
, то сумма площадей S_{\triangle AFC}+S_{\triangle BFC}=S_{\triangle AB_{1}C}+S_{\triangle BA_{1}C}
была бы больше площади треугольника ABC
, что противоречило бы условию задачи.
Поскольку
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AFB}+S_{\triangle BFC}+S_{\triangle CFA}=S_{\triangle AC_{1}B}+S_{\triangle BA_{1}C}+S_{\triangle CB_{1}A}
и
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AFB}+S_{\triangle BFC}+S_{\triangle CFA}=S_{\triangle AC_{1}'B}+S_{\triangle BA_{1}C}+S_{\triangle CB_{1}A},
то S_{\triangle AC_{1}'B}=S_{\triangle AC_{1}B}
, откуда следует совпадение точек C_{1}'
и C_{1}
.