6494. В параллелограмме ABCD
на сторонах AB
и BC
выбраны точки M
и N
соответственно, причём AM=CN
; Q
— точка пересечения отрезков AN
и CM
. Докажите, что DQ
— биссектриса угла D
.
Указание. Пусть прямые AN
и CD
пересекаются в точке P
. Докажите, что \frac{DP}{AD}=\frac{PQ}{AQ}
.
Решение. Обозначим AD=BC=a
, AB=CD=b
, AM=CN=t
. Пусть прямые AN
и CD
пересекаются в точке P
.
Из подобия треугольников PNC
и ANB
находим, что
PC=AB\cdot\frac{CN}{NB}=b\cdot\frac{t}{a-t}=\frac{bt}{a-t}.
Тогда
DP=DC+PC=b+\frac{bt}{a-t}=\frac{ab}{a-t}.
Из подобия треугольников PQC
и AQM
следует, что
\frac{PQ}{AQ}=\frac{PC}{AM}=\frac{\frac{bt}{a-t}}{t}=\frac{b}{a-t}.
Поэтому
\frac{DP}{AD}=\frac{\frac{ab}{a-t}}{a}=\frac{b}{a-t}=\frac{PQ}{AQ}.
Следовательно, DQ
— биссектриса треугольника ADP
.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2000-01, XXVII, окружной этап, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2001, № 5, с. 48
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 243, с. 35