6499. Четырёхугольник ABCD
описан около окружности \omega
. Продолжения сторон AB
и CD
пересекаются в точке O
. Окружность \omega_{1}
касается стороны BC
в точке K
и продолжений сторон AB
и CD
; окружность \omega_{2}
касается стороны AD
в точке L
и продолжений сторон AB
и CD
. Известно, что точки O
, K
и L
лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон BC
, AD
и центр окружности \omega
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть для определённости точка O
лежит на продолжении отрезка AB
за точку B
. Обозначим через P
и Q
точки пересечения KL
с окружностью \omega
, через M
и N
— точки касания сторон BC
и AD
с \omega
. Проведём касательные l_{1}
и l_{2}
к \omega
в точках P
и Q
. Обозначим через \alpha
угол между касательной l_{1}
(или l_{2}
) и хордой PQ
.
При гомотетии с центром O
, переводящей окружность \omega_{1}
в окружность \omega
, касательная BC
в точке K
перейдёт в l_{2}
; при гомотетии с центром O
, переводящей окружность \omega_{2}
в \omega
, прямая AD
перейдёт в l_{1}
. Поэтому BC\parallel l_{2}
и AD\parallel l_{1}
и, следовательно, \angle LKC=\angle KLD=\alpha
.
Кроме того, \angle BMN=\angle ANM
как углы между касательной и хордой. Отсюда получаем, что четырёхугольник KLNM
— равнобедренная трапеция и \angle NMC=\angle MND=\alpha
. Таким образом, хорды PQ
и MN
параллельны и стягивают равные дуги величиной 2\alpha
. Следовательно, средняя линия этой трапеции проходит через центр окружности \omega
. Но середина KM
совпадает с серединой BC
(известно, что точки касания стороны треугольника со вписанной и вневписанной окружностью симметричны относительно середины стороны), и середина LN
совпадает с серединой AD
.
Автор: Кожевников П. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1999-2000, XXVI, заключительный этап, 11 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2000, № 5, с. 52
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 615, с. 80