6500. В прямоугольном треугольнике ABC
точка O
— середина гипотенузы AC
. На отрезке AB
взята точка M
, а на отрезке BC
— точка N
, причём угол MON
— прямой. Докажите, что AM^{2}+CN^{2}=MN^{2}
.
Указание. Рассмотрите симметрию относительно точки O
.
Решение. При симметрии относительно точки O
вершина A
переходит в вершину C
, точка M
— в некоторую точку M'
, отрезок AM
— в отрезок CM'
, равный AM
. При этом, поскольку AM\perp BC
и CM'\parallel AM
, то \angle M'CN=90^{\circ}
. Кроме того, в треугольнике MNM'
высота NO
является медианой, значит, M'N=MN
. Следовательно,
AM^{2}+CN^{2}=CM'^{2}+CN^{2}=M'N^{2}=MN^{2}.
Автор: Произволов В. В.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1999, LXII, 8 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1999, № 4, с. 49
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 5, с. 40