6505. Окружность, проходящая через вершины A
и B
треугольника ABC
, пересекает сторону BC
в точке D
. Окружность, проходящая через вершины B
и C
, пересекает сторону AB
в точке E
и первую окружность вторично в точке F
. Оказалось, что точки A
, E
, D
, C
лежат на окружности с центром O
. Докажите, что угол BFO
— прямой.
Решение. Пусть S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
окружности, о которых в указанном порядке говорится в условии задачи.
Четырёхугольник ABDF
вписан в окружность S_{1}
, поэтому
\angle FDC=180^{\circ}-\angle BDF=\angle BAF=\angle EAF.
Четырёхугольник CBEF
вписан в окружность S_{2}
, поэтому
\angle FEA=180^{\circ}-\angle BEF=\angle BCF=\angle DCF.
Значит треугольники AEF
подобен треугольнику DCF
по двум углам.
Пусть K
и L
середины отрезков AE
и CD
соответственно. Тогда FK
и FL
— медианы подобных треугольников AEF
и DCF
, проведённые из вершин соответствующих углов. Значит,
\angle AKF=\angle DLF=\angle BLF,~\angle BKF=180^{\circ}-\angle AKF=180^{\circ}-\angle BLF,
поэтому точки B
, K
, L
и F
лежат на одной окружности. Обозначим её S_{4}
. Докажем, что на этой окружности лежит точка O
.
Действительно, так как AE
и CD
— хорды окружности S_{3}
, то серединные перпендикуляры к отрезкам AE
и CD
пересекаются в центре O
этой окружности. Значит, из точек K
и L
отрезок BO
виден под прямым углом. Следовательно, точки K
и L
лежат на окружности с диаметром BO
, а так как через точки B
, K
и L
проходит единственная окружность S_{4}
, то BO
— диаметр окружности S_{4}
.
Таким образом, точка F
лежит на окружности с диаметром BO
, поэтому FO\perp BO
. Что и требовалось доказать.